今回は垂直ひずみとせん断ひずみについて学びましょう。物体は伸ばしたり縮めたりすると長さが変化します。では、この長さの変化はどのように表せば良いのでしょうか？詳しく見ていきましょう。
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垂直ひずみ
下図のように、部材に軸方向の力を加えると、部材の長さが変化します。下図から部材の伸びは以下の様に表すことができます。
\[\lambda=l-l_0[m]\]
そして、変形前の部材の単位長さ当たりの伸び量をを『垂直ひずみ』といい以下の様に表され、主に\(\varepsilon\)の記号を用いて表すことが多いです。引張に対する垂直ひずみは『引張ひずみ』、圧縮に対する垂直ひずみは『圧縮ひずみ』と呼ばれることもあります。
\[\varepsilon=\frac{ \lambda }{ l_0 }=\frac{ l-l_0 }{ l_0 }[無次元]\]
そして、軸方向に垂直な横方向の変形を表すには以下の無次元の値を用いて、これを『横ひずみ』と呼びます。主に\(\delta\)で表され、\(\delta\)が下図のように減少量である場合には負号をつけ、増加量である場合には正とするようにしましょう。
\[\varepsilon^{‘}=\frac{ \delta }{ d_0 }=\frac{ d-d_0 }{ d_0 }[無次元]\]
せん断ひずみ
下図のように部材に軸方向に対して垂直な力を加えると、微小体ABCDは平行四辺形AEFGのように変形します。このとき、面CDは面ABに対して相対的に\( \lambda\)だけ移動します。この\( \lambda\)を2つの面の感覚\(l\)で割った無次元の値を『せん断ひずみ』といい、\(\gamma\)で表されます。しかし、金属材料においては変形がわずかであることが多いため、\(\gamma\)は以下の様に定義されます。
\[\gamma=\frac{ \lambda }{ l }=\tan \theta\fallingdotseq\theta[無次元]\]
体積ひずみ
物体の内部では、直交する3つの方向にそれぞれ伸び縮み（垂直ひずみ）が生じると、物体の体積が変化します。この体積の変化量\(ΔV\)を、元の体積\(V\)で割ったものを『体積ひずみ』と呼びます。たとえば、3つの直交する方向にそれぞれ\(\varepsilon_a\)、\(\varepsilon_b\)、\(\varepsilon_c\)という垂直ひずみが生じた場合、体積ひずみ\(\varepsilon_v\)は次の式で表せます。
\[\varepsilon_v=\frac{ ΔV }{ V }\]
弾性変形の場合、\(\varepsilon_a\)、\(\varepsilon_b\)、\(\varepsilon_c\)の値は通常\(10^{-2}\)以下の非常に小さな値です。そのため、体積ひずみは3つの垂直ひずみを単純に足し合わせた値として近似できます。つまり、体積ひずみは3つの直交する方向の垂直ひずみの和と等しいとみなせるのです。
\[\varepsilon_v=\frac{ ΔV }{ V }=\frac{ l(1+\varepsilon_a)l(1+\varepsilon_b)l(1+\varepsilon_c) -l^3}{ l^3 }\]
\[=(1+\varepsilon_a)(1+\varepsilon_b)(1+\varepsilon_c)-1\fallingdotseq\varepsilon_a+\varepsilon_b+\varepsilon_c\]
フックの法則
下図の様な部材に引張荷重\(F\)を加えると弾性変形の範囲において伸び\( \lambda\)は荷重\(F\)ならびに元の長さ\(l\)に比例し、部材の断面積\(A\)に反比例することが分かっています。よって以下の様な式で表され、部材の材質によって変わるEのことを『縦弾性係数(ヤング率)』といい、このような法則を『フックの法則』といいます。
\[フックの法則: \lambda=\frac{ Fl }{ EA }=\frac{ \sigma{l} }{ E }\]
これに垂直応力と垂直ひずみの定義式を代入すると以下の様になり、応力がひずみに反比例するという簡単な表現になります。
\[\varepsilon=\frac{ \lambda}{ l}=\frac{ \sigma}{ E}\iff\sigma=E\varepsilon\]
この応力がひずみに比例するというフックの法則はせん断応力\(\tau\)とそれに伴うせん断ひずみ\(\gamma\)の間にも成立すると知られていて、以下の様に表される。この\(G\)のことを『横弾性係数』といいます。
\[\tau=G\gamma\]
また、水圧のような3つの直交する方向に一様な垂直圧力\(p\)を受けるときに生じる体積ひずみを\(\varepsilon_v\)とすると、次のような関係式が成立する。このKを『体積弾性係数』といいます。
\[p=K\varepsilon_v\]
ポアソン比
先ほど紹介した3つの弾性係数の他にも材質によって決まる無次元の定数が存在します。それは以下のような垂直ひずみ\(\varepsilon\)と横ひずみ\(\varepsilon^{‘}\)との間に成立する比例関係であり、\(\nu\)のことを『ポアソン比』といい、この逆数である\(m\)を『ポアソン数』といいます。
\[ポアソン比:\nu=\frac{ 1 }{ m }=\left|\frac{ \varepsilon^{‘}}{ \varepsilon }\right|\]
まとめ
今回は垂直ひずみやせん断ひずみについて解説しました。伸びやひずみを知ることで荷重が作用したときにどれだけ変位するかが分かります。今後もかなり登場するため、しっかり覚えておきましょう。次回は「許容応力と安全率」について解説していきます。ここまで見ていただき、ありがとうございました！
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